4月11日
中国应用数学的研究还相当欠缺 ZZ
林家翘教授谈应用数学之一
数学的重要性不言而喻。纵观近代科学技术的发展，可以看到数学是使科学和技术取得重大进展的一个重要因素，它奠定了现代科学和高技术时代发展的基础。数学的研究分为两个方面，一是充实和扩展这个学科的核心领域，这是纯粹数学的工作；二是解决科学问题，或创造各种提出和解决问题的技巧与方法，这是应用数学以及统计学等的工作。20世纪的第二次世界大战引发的一系列科学和技术的竞争推动了应用数学的极大进展，人们在战后的年代里前所未有地感受到了数学的概念和数学方法的力量。但是，林家翘教授说在中国，应用数学领域的研究还相当欠缺。
林家翘先生认为这一现象存在的原因是，在中国应用数学往往被误认为是实用数学。应用数学是用数学的方式提出科学或工程学中的问题，并将这些问题归结或表示为能够运用计算手段处理的数学问题，这是学术的问题，因而也是科学的问题；而实用数学是用数学的方法帮助解决科学或工程学中的计算问题，这是服务性的，因而是实用的。在中国实用数学之所以被误认为是应用数学，这与新中国建国之初高等学校院系调整有关。当时中国向苏联学习，将所有的人才集中在一起，解决实际的问题，但不一定是学术的问题，因此逐渐远离了大学的主要职责。大学的主要职责应该是教育新的人才，促进学术发展。大学也有义务帮助国家、社会完成急需的工作，可是这不应是大学的主要任务，不能喧宾夺主。比如，美国麻省理工学院的林肯实验室是学院与政府订合同替政府工作的，完全为政府服务，因此它也是政府机构，不属于学校本部，学院的教授也有些人在里面做顾问工作，但每周的工作时间大抵不超过一个工作日。
林家翘说，学术性的研究工作与由任务趋动的研究工作走的是两条路。学术的研究是为了长期前途的发展，是为未来，而任务推动型研究是为了解决当前的实际问题，满足现在的需要；学术型研究应当向国家自然科学基金委员会申请经费，而实用型研究应当由国家科学和技术部拨款。但是，因为实用型研究项目的经费多，容易产生误导。清华大学当年最大的损失是从全面型大学变为有任务的大学，替政府具体工作，因此有些该做的事就被耽误了。做政府的项目，规模大、钱多，但与教学的距离就远了。从历史的观点来看，当初国家正在建设，大家都在做与任务有关的事，与苏联是一样的，大学也得做建国方面的事。但是，现在已经走过了科学建国的阶段，是科学兴国的时候了，清华也要改回去，以学术研究和教学为主。
一个学科要健康地发展，还必须能吸引最聪明的学生到这一领域里来，从事这一学科的研究。林先生说，将实用数学误认为是应用数学，聪明的学生就认为做应用数学研究只是为了帮助其它学科的计算，因此，他就不会选择从事应用数学的研究，对应用数学事业来说这是很大的损失。林先生指出，中国的教育当年学苏联学错了一大步。苏联的模式是专业化太早，苏联的教育可以将工程学分为404门，这种做法是行不通的。专业化太早，学生的适应力就会太差，会做普通发动机的人不会做喷气式发动机。学生们学会了做什么，而不是学懂了做什么。专业分得太细，教师和学生的眼光都会变得太窄，将来只能做旧的东西，不敢做创新的东西，这是很不幸的事。
林先生认为，中国的教育经过了科学救国、科学建国的时期，现在才是科学兴国的时期，这是一个历史性的发展。过去的做法对将来不一定合适，20世纪的科学也与21世纪不一样，因此，必须有所改变，他说他回到清华是为了帮助清华大学走向世界一流大学，发展应用数学也是使中国科技有可能跻身世界一流水平的一条重要通道。数学思维比数学运算更重要林家翘教授谈应用数学之二 数学的证明依靠严密的逻辑推理，一经证明就永远正确，所以，数学证明是绝对的。相对而言，科学的证明则依赖于观察、实验数据和理解力，科学理论的证明难以达到数学定理证明所具有的绝对程度，只能提出近似于真理的概念。因此，在思维严密的数学家眼里，物理学、化学、生物学、天文学等自然科学都是经验科学。林家翘先生说，应用数学家要将数学的严密和精确引入经验学科，将这些学科中的实验问题归结或表示为能够用运算手段处理的数学问题，从而促进经验科学的发展。
过去的经验告诉我们，所有的科学问题在本质上都是简单而有序的。物理学所有的定理都可以用数学公式在一张纸上表示出来，而与此同时，人类的智慧又坚持用简单的概念阐明科学的基本问题，这样做，数学就是一个基本的方法。
应用数学是利用数学的方法来发展经验科学的学科。应用数学始于经验性事实，止于对经验性事实进行规律性预测，这些规律还必须被其它的实验数据所证实。同时，用数学理论来发展经验科学往往又会向数学提出深刻的挑战，并对纯数学的研究启示新的方向。
近代应用数学发端于英国，牛顿是应用数学的鼻祖。为了解释观察到的大量天体运行的资料，解释天体运行的基本规律（开普勒三大定律），牛顿建立起天体运行的数学模型，提出了划时代的三大力学定律和万有引力定律。但是，力学定律的内涵超越了那个时代传统数学的范围，牛顿不得不开拓新的领域，发明了微积分，然后再用微积分、力学定律和万有引力，求得了行星运行的规律。在19世纪末的英国，所有的理论物理被称为应用数学。我在加州理工学院的博士导师冯·卡门也是一位应用数学的实践者和倡导者，他坚信自然界具有数学的本质，并用他毕生的经历从那些光凭经验无法澄清的混沌领域中寻求数学解答。冯·卡门的导师是德国哥丁根大学应用物理系主任、有"空气动力学之父"称号的普朗特尔教授，他最大的贡献是阐明了飞机为什么会飞。他的一个科学准则是"概括法"，即从一个复杂的物理过程中（无论是机器运行还是河水流动）概括出关键的物理因素，然后再用数学进行分析。
冯·诺依曼是20世纪最伟大的纯粹数学家和应用数学家，在他发表的150篇论文中，60篇研究的是纯粹数学，60篇研究的是应用数学，包括统计学和博弈论，那篇著名的会客室博弈论文就是他在20岁那年完成的。他和莫根施特恩合作的《博弈论与经济行为》在1944年出版，在这部著作中他们将数学科学的逻辑语言，尤其是集合论与组合数学方法，应用到社会理论的改革过程中，将经济学置于严谨的数学基础上。评论员赫维茨认为"只要再有10部这样的著作，经济学的未来就有保障了"。学生们将这本书称为"那部《圣经》"。冯·诺依曼勇敢无畏地走出数学领域，他应用相似的方法解决不同的问题的成功经历，激励着年轻的天才竞相仿效，约翰·福布斯·纳什就是其中一位。纳什证明的均衡定理推广了冯·诺依曼定理，成功地打开了将博弈论应用到经济学、政治学、社会学及至进化生物学的大门。纳什也因博弈论定理的证明获得了1994年的诺贝尔经济学奖。这是应用数学发展经济科学的最新例证。
二次世界大战极大地推动了应用数学的独立发展，取得了蔚为壮观的成就。这场战争引起了一系列科学和技术的竞争，并在战后的年代里，在航空航天、通讯、控制、管理、设计和试验等方面，让人们感受到数学崭新的力量。20世纪数学的成就，可归入数学史上最深刻的成就之列，应用数学和计算机科学成为科学技术取得重大进步的重要因素，它奠定了现代科学和工业技术时代发展的基础。
上帝造物都很简单，所有的问题都可以用数学公式来表达，这是应用数学家们的一个信仰。
应用数学与纯数学并不相互隶属林家翘教授谈应用数学之三 应用数学是不同于纯数学的一门独立的基础学科。在这个领域里，应用数学家们希望揭示出自然界和社会中所观察到的实际问题的规律，无论是探讨心脏中血液流动的情况，还是研究星系旋转的规律，他们都力图寻找出各种模型来描述它们，把它们联系起来，并从中作出各种推断。而纯数学家们则从数学本身的抽象问题中寻找定量及原理，并论证结果。因此，应用数学与纯数学是科学研究领域中两个很不相同的学科。二者有交叉，相辅相成，但并不互相隶属。经验科学是应用数学的核心，而逻辑架构是纯数学的核心，它们都从属于数学科学，它们的本质区别在于价值判断的标准不同，实验验证在应用数学起着举足轻重的作用。二者的共同之处在于应用数学家们也有兴趣发展新的数学，但这一兴趣更主要是由寻找并解决特定问题所驱动的。因此，看应用数学必须从两面看，一方面是科学性，一方面是数学性。要发展应用数学，数学家们应学很多科学，科学家们则应学很多数学，这样才能维持平衡，应用数学才能健康发展。 应用数学也不同于经验科学，它们相同之处在于研究的动机和目的都是认识和理解科学事实和真实世界的各种现象，区别则在于经验科学的方法是观察和实验，应用数学的方法是数学模型和它的求解、求证。但二者都重视寻求简单的基本原理。在中国国内更严重的问题是没有重视应用数学与实用数学的区别。应用数学不等同于实用数学，实用数学的主要目的是满足社会上的需要，计算导弹的发射以及登月等，这是一种服务的性质，帮助解决服务对象提出的数学问题，它所注重的是数学的方法，注重方法的改进或提高；应用数学则注重的是主动提出研究对象中的科学问题，通过问题的解决加深对研究对象的认识，或创造出新的知识，它所注重的是用数学来解决科学问题。应用数学也应当为社会服务，但同时更重要的是要为科学本身服务，即服务于基础科学，又服务于应用科学，不断科学前沿的发展。如果要简单地在两者间划一条界线，则可如此说：做应用数学研究属于学术研究，应当向国家自然科学基金委员会申请经费，而做实用数学是由任务驱动性的，应当向国家科技部申请经费。
我们可以根据以上的讨论，作一个简单的结论：应用数学是一门独立的学科，它有自己研究问题的态度、方法和思维模式，也有自己的教育理念和方法。
应用数学家的素质和培养林家翘教授谈应用数学之五 应用数学用数学的方法推动经验科学和工程学的发展，同时又不断刺激对新数学的需要，为纯数学提出新的问题。这就是应用数学的双重性。一个受到良好教育的应用数学家应该尊重应用数学的这种双重性精神，即要了解数学发展的全景，同时也要精通所研究学科的知识。但需要注意的是，在这种双重性的强调中，应用数学所强调的重点既不同于纯数学，也与经验科学不同。应用数学的通识（综合）教育还应该培养一种团队精神，如果缺乏这种精神，应用数学家们不可能保持一个健康的职业。
《论语》中说："学而不思则罔，思而不学则殆"，应用数学家的治学精神可用这句话来表明。如果只学习了数学的知识而不思考发挥知识的作用，就会产生迷茫；如果只思考如何解决实际问题却不学习知识，就会碰壁。中国古老的治学方法讲究"博大精深"。但中国现在时常发生的问题是精深有余，博大不足。把人的走向很早就定死，发展的空间就有限了。应用数学家们需要不断地学习新知识，学习研究的对象。如果要我在办公室里挂一个牌，我就会挂上"学无止境"这个牌。 也许有人会问综合性教育是否有必要呢？我从自己的经历做出的回答是毫无疑问的"是。"那么，应该如何培养应用数学家呢？我认为所有的教育尤其是治学态度，都必须在大学本科阶段开始，这是青年学生的成长时期。要了解这一点，首先让我们来看看大学教育的目的。
大学教育的最终的目的是包括以下三个方面：一，培养一种态度、观点和价值判断能力；二，获得广泛的相互联系知识，这种知识是值得世代相传的，可以很好地理解，并在某一领域的特殊方面进行专门研究；三，发展某种才能，特别是在某一方面的创造力。这样培养出来的年轻人有可能获得某种智慧，使得他在今后的工作成为同事的顾问，更年轻一代的老师。
为了达到以上目的，大学应用数学的教学的课程应该包括如下内容：首先，培育学生对应用数学态度；其次，培养常用的工作能力，即培养应用数学的方法；第三，学科全貌介绍，即概述课程，让学生了解整个学科的全貌；第四， 纯数学知识；第五，至少对科学学科的某一分支深入地了解。
研究生阶段的教育应该是以上基础课程的继续和扩展，同时还必须培养学生做研究的能力。
如果没有这些课程，那么我们培养的人才可能只是对应用偶尔有兴趣的纯数学家，或是高度专业化的应用数学家，他们在自己的专门领域里有相当强的数学能力。这些人对应用数学会有贡献，但这对应用数学事业的健康发展是不够的，其中一个主要的欠缺就是不能适应实证科学的新发展。因此，我们应当大量普及应用数学的综合课程，吸引大批有事业心、有才华的年轻人走到这个领域里来，并向他们展示这是一个充满机会、有前途的学术职业。最后一点是应用数学成功发展的最重要因素。是否有能力推动这个学科的健康发展是对应用数学家的判断的重要标准，他们也必须有机会教育未来的专业人士。
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11月15日
Some Mathematical Concepts
Klein Bottle: http://en.wikipedia.org/wiki/Image:KleinBottle-01.png
Wronskian: http://en.wikipedia.org/wiki/Wronskian_determinant
Asymptotic stability: http://en.wikipedia.org/wiki/Asymptotically_stable
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8月24日
Some textbooks
Analysis by E. Lieb and M. Loss;
Methods of Modern Mathematical Physics (Vol. 1) by M. Reed and B. Simon;
Partial Differential Equations by L. Evans;
Introduction to Quantum Mechanics by D. Griffiths;
Numerical Methods for Conservation Laws by R. LeVeque;
Introduction to Perturbation Methods by M. Holmes.
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